💡 What you just learned: This chapter is one long argument, and it runs in four steps. First, Geiger and Marsden fired α-particles at a thin gold foil and found that most went straight through, only about 0.14 % turned by more than 1°, and about 1 in 8000 came back through more than 90° — which forced Rutherford to put all the positive charge and nearly all the mass into a nucleus 10 000 to 100 000 times smaller than the atom, so that an atom is mostly empty space. The impact parameter b is the perpendicular distance of the initial velocity vector from the centre of the nucleus: small b gives a large deflection, b = 0 sends the α straight back, and large b leaves it almost undeviated; the head-on stopping distance d = 2Ze²/4πε₀K comes out around 30 fm for 7.7 MeV α-particles on gold, five times the 6 fm nuclear radius, so the α reverses without ever touching and the method gives only an upper limit to the nuclear size. Second, that planetary atom is fatally ill: an orbiting electron is accelerated, an accelerated charge must radiate, so it would spiral in and collapse, and because its revolution frequency rises continuously as it falls it would emit a continuous spectrum — while real atoms are stable and give sharp lines. Third, Bohr simply asserted what nature does: there are stationary orbits that do not radiate, the angular momentum is quantised as L = nh/2π (natural, because h itself has the dimensions of angular momentum), and light appears only in a jump, with hν = E_i − E_f. Out of that come rₙ = n²a₀, vₙ = v₁/n and Eₙ = −13.6/n² eV, with K = −E and U = 2E = −2K, so the total energy is negative — and negative total energy is exactly what bound means. The ionisation energy is 13.6 eV, the first excitation energy 10.2 eV, the levels crowd closer and closer as n grows up to E = 0 at n = ∞ with a continuum above it, and ΔE = 13.6(1/n_f² − 1/n_i²) eV with λ ≈ 1240/ΔE nm puts every transition ending on n = 1 in the ultraviolet and those ending on n = 2 in the visible. Fourth, de Broglie explained the mysterious second postulate: the electron is a wave, and only a resonant standing wave survives on a closed orbit, so 2πrₙ = nλ — put λ = h/mv in that and Bohr's L = nh/2π falls out. Two traps to carry into the exam: the frequency of revolution is not the frequency of the spectral line, and Bohr's model fails already for helium because it contains no electron–electron force at all.💡 आपने क्या सीखा: यह अध्याय एक लंबा तर्क है, जो चार चरणों में चलता है। पहला, गाइगर और मार्सडेन ने पतली सोने की पन्नी पर ऐल्फा कण दागे और पाया कि अधिकांश सीधे पार निकल गए, केवल लगभग 0.14 % ही 1° से अधिक मुड़े, और लगभग 8000 में 1 ही 90° से अधिक लौटा — इसी ने रदरफ़र्ड को समस्त धनावेश और लगभग सारा द्रव्यमान एक नाभिक में रखने पर विवश किया, जो परमाणु से 10 000 से 100 000 गुना छोटा है, अर्थात् परमाणु अधिकांशतः रिक्त स्थान है। संघट्ट प्राचल b ऐल्फा कण के प्रारंभिक वेग सदिश की नाभिक के केंद्र से लंबवत दूरी है: छोटा b बड़ा विक्षेपण देता है, b = 0 ऐल्फा को सीधे वापस भेजता है, और बड़ा b उसे लगभग अविक्षेपित छोड़ देता है; सम्मुख टक्कर की निकटतम उपगमन दूरी d = 2Ze²/4πε₀K सोने पर 7.7 MeV ऐल्फा के लिए लगभग 30 fm आती है, जो 6 fm की नाभिकीय त्रिज्या से पाँच गुना है, अतः ऐल्फा बिना छुए ही लौट जाता है और यह विधि नाभिक के आकार की केवल ऊपरी सीमा देती है। दूसरा, वह ग्रहीय परमाणु घातक रूप से रुग्ण है: परिक्रमा करता इलेक्ट्रॉन त्वरित है, त्वरित आवेश को विकिरण करना ही पड़ता है, अतः वह सर्पिल होकर भीतर गिरता और ढह जाता, और गिरते समय उसकी परिक्रमण आवृत्ति सतत बढ़ती रहती है, अतः वह सतत स्पेक्ट्रम देता — जबकि वास्तविक परमाणु स्थायी हैं और तीक्ष्ण रेखाएँ देते हैं। तीसरा, बोर ने वही घोषित कर दिया जो प्रकृति करती है: कुछ स्थायी कक्षाएँ होती हैं जो विकिरण नहीं करतीं, कोणीय संवेग L = nh/2π के रूप में क्वांटीकृत है (यह स्वाभाविक है, क्योंकि h की विमाएँ स्वयं कोणीय संवेग की हैं), और प्रकाश केवल छलाँग में प्रकट होता है, hν = E_i − E_f के साथ। इससे निकलते हैं rₙ = n²a₀, vₙ = v₁/n और Eₙ = −13.6/n² eV, जिनके साथ K = −E तथा U = 2E = −2K, अतः कुल ऊर्जा ऋणात्मक है — और ऋणात्मक कुल ऊर्जा का ठीक यही अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन बद्ध है। आयनन ऊर्जा 13.6 eV है, प्रथम उत्तेजन ऊर्जा 10.2 eV, स्तर n बढ़ने पर पास-पास सिमटते जाते हैं और n = ∞ पर E = 0 तक पहुँचते हैं जिसके ऊपर सतत क्षेत्र है, तथा ΔE = 13.6(1/n_f² − 1/n_i²) eV और λ ≈ 1240/ΔE nm से n = 1 पर समाप्त होने वाला हर संक्रमण पराबैंगनी में और n = 2 पर समाप्त होने वाले दृश्य क्षेत्र में पड़ते हैं। चौथा, डी ब्रॉग्ली ने रहस्यमय दूसरी अभिधारणा को समझाया: इलेक्ट्रॉन एक तरंग है, और बंद कक्षा पर केवल अनुनादी अप्रगामी तरंग टिकती है, अतः 2πrₙ = nλ — इसमें λ = h/mv रखिए और बोर का L = nh/2π स्वयं निकल आता है। परीक्षा के लिए दो जाल: परिक्रमण आवृत्ति स्पेक्ट्रमी रेखा की आवृत्ति नहीं है, और बोर का मॉडल हीलियम पर ही विफल हो जाता है क्योंकि उसमें इलेक्ट्रॉन–इलेक्ट्रॉन बल है ही नहीं।